PEMBUKTIAN:LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA.

Hello everyone! ketemu lagi dengan saya Naila Mutiara Ziefa XI IPS 2, jadi diblog saya kali ini, materinya menjelaskan tentang Pembuktian dengan cara Langsung, Tak langsung,Kontradiksi, Induksi matematika

Oiya sebelum masuk ke materi selanjutnya kalian bisa mengingat dan memahami kembali materi yang sebelumnya di Logika Matematika. 

Langsung saja kita mulai:

Apa itu Pembuktian? Seperti apa?. Nah didalam Matematika ada beberapa cara untuk melakukan pembuktian atau bisa disebut juga membuktikan. Diantaranya yaitu:

a. Pembuktian langsung

b. Tak langsung

c.  Kontradiksi

d.  Induksi

Nah berikut ini adalah penjelasannya

1. PEMBUKTIAN LANGSUNG

Bukti langsung adalah salah satu cara pembuktian sifat atau teorema matematika dengan penarikan kesimpulan dengan memanfaatkan silogisme, modus ponens dan modus tollens. Secara logika pembuktian q benar secara langsung atau ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan q benar dimana diketahui p benar

Metode pembuktian langsung adalah suatu proses pembuktian pembuktian menggunakan alur maju, mulai dari hipotesis dengan menggunakan implikasi logic sampai pada pernyataan kesimpulan.

Misalnya: Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x²bilangan ganjil.

Bukti: Diketahui x ganjil, jadi dapat didefinisikan sebagai x := 2n + 1 untuk suatu n 

        

                                  €Z

. Selanjutnya, x² = (2n + 1)²= 4n² + 4n + 1 = 2 (2n² + 2) + 1, dengan mengambil m := 2n² + 2, m 

                                   €Z

 maka x² = 2m + 1. Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x² ganjil

2. PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG

Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum)yang dibahas ada 2 cara yaitu :

KONTRAPOSISI

Pembuktian tidak langsung atau kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p  

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan

kebenaran ~q → ~p

Misalnya : p = n² bilangan ganjildan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).

Artinya n²  bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,

sehingga kontraposisi ~q →~p jugaBENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n² bilangan ganjil maka n adalah

bilangan ganjil.

KONTRADIKSI

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Misalnya: Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.

Bukti: Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat

ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n² = (2k)² ataun² = 4k²

Ini menunjukkan bahwa  n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

3. INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibatP(n) benar untuk semua n.

Misalnya: Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 +  … + (2n-1) = n², untuk semua bilangan

                 asli n”.

Bukti: Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n²

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k², maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k² + 2k + 1

= (k + 1)²

Sehingga P(k+1) benar

Hanya itu saja yang dapat dijelaskan lebih kurangnya mohon dimaafkan.