Soal dan pembahasan trigonometri

Di ceritaku kali ini pelajaran matematika yang saya sukai yaitu bab 6 Ek 6.1dan 6.2 karena saya sedikit mengerti. Materi ini menjelaskan tentang Trigonometri

Trigonometri merupakan nilai perbandingan.perbandingan tersebut dikaitkan dengan sebuah sudut.misalkan sudutnya adalah α maka perbandingan trigonometri untuk sudut tersebut adalah:

sinus α , cosinus α ,tangen α , cotangen α , secan α , dan cosecan α.

Penulisan trigonometri tersebut bisa di singkat yaitu: sin, cos,tan,cot,sec,csc.

1. Perbandingan Trigonometri

Lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada lingkaran dan sudut dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r2 = x2 + y2 sehingga diperoleh perbandingan trigonometri, yaitu antara lain sebagai berikut ini :

2. Macam – Macam Rumus Identitas Trigonometri

Trigonometri juga memiliki beberapa macam rumus, yaitu sebagai berikut ini:

1. Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

• Rumus Untuk Cosinus Jumlah Selisih Dua Sudut :

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

• Rumus Untuk Sinus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut :

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• Rumus Untuk Tangen Jumlah Dan Selisih Dua Sudut :

tan A (A + B) = tan A + tan B/1 – tan A x tan B
tan A (A – B) = tan A – tan B/1 + tan A x tan B

2. Rumus trigonometri untuk sudur rangkap

• Dengan Menggunakan Rumus sin (A + B) Untuk A = B :

sin 2A = sin (A + B)
= sin A cos A + cos A sin A
= 2 sin A cos A
Jadi, sin 2A = 2 sin A cos A

• Dengan Menggunakan Rumus cos (A + B) Untuk A = B :

cos 2A = cos (A + A)
= cos A cos A – sin A sin
= cos 2A – sin 2A ……………(1)

Atau

Cos 2A = cos 2A – sin 2A
= cos 2A – (1 – cos 2A)
= cos 2A – 1 + cos 2A
= 2 cos 2A – 1………………(2)

Atau

Cos 2A = cos 2A – sin 2A
= (1 – sin 2A) – sin 2A
= 1 – 2 sin 2A………………(3)

Dari Peramaan (1), (2), (3) diatas didapatkan rumus yaitu :

Cos 2A = cos 2A – sin 2A
= 2 cos 2A – 1
= 1 – 2 sin 2A

• Dengan Menggunakan Rumus tan (A + B) Untuk A = B :

tan 2A = tan (A + A)
              = tan A + tan A/1 tan A x tan A
              = 2 tan A/1 – tan 2A
Jadi, tan 2A = 2 tan A/1 – tan 2A

Contoh Soal :

Jika tan 5°= p. Tentukan tan 50°?

Penyelesaian :

Dik: tan tan 50° = tan (45° + 5°)

= tan 45° + tan 5°/1 – tan 45° x tan 5°

= 1 + p/1 – p

Jadi, hasilnya adalah = 1 + p/1 – p

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat, derajat ke radian

1. Hitunglah jari jari suatu lingkaran jika panjang busurnya 10 cm. Dan sudut pusatnya 36°

Penyelesaian

θ = 36°, maka:

36° = 36°xπ/180°

36° = 0,2π

Kita ketahui bahwa :

r = s/θ

r = 10 cm/0,2π

r = 10 cm/0,628

r = 15,9 cm

2. Nyatakan sudut 50° dan 89° ke dalam radian!

Penyelesian:

50° = 50° x π/180°

50° = 0,277π

50° = 0,277 (3,14)

50° = 0,87 radian

89° = 89° x π/180°

89° = 0,494π

89° = 0,494 (3,14)

89° = 1,55 radian

3. Sebuah kipas angin berputar dengan kecepatan 36 putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke dalam satuan radian per detik!

Penyelesaian:

36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik

36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik

Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan dudut istimewa (600 , 300 , 450 )

1. Tentukan Luas Segitiga di bawah ini! 

Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30^o = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm

2. Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α

Jawaban:

sin⁴ α – sin² α = (sin² α)² – sin² α= (1 cos² α) ² – (1 cos² α)= 1 – 2 cos² α + cos⁴ α – 1 + cos² α= cos⁴ α – cos² α

3.  Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…

Jawaban:

a+b=10

a=10-b

Aturan Sinus

a/sin A = b/sin B

10-b/ sin 30 = b/sin 45

10-b/1/2= b/√2/2

√2/2(10-b)=b/2

(10√2-b√2)/2=b/2

5√2-b√2/2=b/2

5√2=b√2/2 + b/2

5√2=(b√2+b)/2

5√2=b(√2+1)/2

b=5√2 x 2/(√2+1)

b=10√2/(√2+1) x (√2-1)/(√2-1)

b=20-10√2

b=10(2-√2)

4. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C =

Jawaban:

Karena segitiga ABC lancip , maka sudut A,B dan C juga lancip, sehingga :

cos A = 4/5, maka sin A = 3/5,  (ingat cosami, sindemi dan tandesa)

sin B = 12/13, maka cos  B = 5/13

A + B + C = 180°,  (jml sudut -sudut dalam satu segitiga = 180)

A + B = 180 – C

sin (A + B) = sin (180 – C)

sin A . cos B + cos A.sin B = sin C, (ingat sudut yang saling berelasi : sin(180-x) = sin x)

sin C = sin A.cos B + cos A.sin B

sin C = 3/5.5/13 + 4/5.12/13

sin C = 15/65 + 48/65 = 63/65

3.7 Menyelesaikan rasio  trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku di dalam koordinat kartesius.

1.Diketahui koordinat titik A(−2√2,−2√2).Koordinat kutub dari titik A adalah ⋯⋅

A. (4,210∘)                 D. (5,240∘) 
B. (2,240∘)                 E. (4,225∘)
C. (2,225∘)

Pembahasan :

Diketahui: x=y=−2√2
Koordinat kutubnya berbentuk (r,θ), dengan
r=√x2+y2=√(−2√2)2+(−2√2)2=√8+8=4
dan
tanθ=yx=−2√2−2√2=1⇒θ=45∘∨225∘
Karena titik A berada di kuadran III (nilai x dan ynegatif), maka θ=225∘. 
Jadi, koordinat kutub dari A(−2√2,−2√2)adalah (4,225∘)
(Jawaban E)

2. Diketahui $△ABC$

 siku-siku di . Jika $\cos A=\frac{3}{4}$, nilai $\cot A=\cdots \cdot$A. $\sqrt{7}$                                 D. $\frac{3}{4}\sqrt{7}$
B. $\frac{3}{7}\sqrt{7}$                             E. $\frac{4}{3}\sqrt{7}$
C. $\frac{4}{7}\sqrt{7}$

Pembahasan :

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.

Untuk itu,
$\cos A=\frac{3}{4}=\frac{AB}{AC}$
Misalkan $AB=3$ dan $AC=4$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{cc}BC& =\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}\\ & =\sqrt{(4{)}^2-(3{)}^2}=\sqrt{7}\end{array}$
Cotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudutpada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cot A=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3}{7}\sqrt{7}$
Jadi, nilai $\cot A=\frac{3}{7}\sqrt{7}$
(Jawaban B)

3.7 Menyelesaikan nilai trigonometri pada suatu sudut segitiga siku-siku pada koordinat cartesius

1. Perhatikan segitiga ABC dibawah! Segitiga ABC siku-siku di B.

Maka sinθ= . . . .

  A. ab
  B. ac
  C. ca
  D. cb
  E. ba

Pembahasan :

sin 0 = c/b

sin = depan/miring = D

3.7 Menyelesaikan komposisi operasi (+, -, :, dan •) nilai trigonometri

Contoh Soal 1

Diketahui f ( x ) = 2 − x dan g ( x ) = 2 x + a + 1 .

Jika ( f ∘ g ) ( x ) = ( g ∘ f ) ( x ) , berapa nilai a ?

A. − 4

B. − 2

C. 0

D. 2

E. 4

Pembahasan :

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

1. Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …

Jawab

tan 30⁰ = \frac{x}{150}

\frac{1}{3} \sqrt{3} = \frac{x}{150}

x = \frac{1}{3} \sqrt{3}  . 150  

x = 50√3  

Jadi tinggi menara adalah

= x + tinggi Budi

= 50√3 m + 120 cm

= 50√3 m + 1,2 m

= (50√3 + 1,2) m

2. Seorang anak dengan tinggi 160 cm berdiri pada jarak 12 m dari kaki tiang bendera. Jika sudut depresi dari puncak tiang terhadap anak adalah 45° maka tinggi tiang bendera itu adalah …

Jawab

tan 45⁰ = \frac{x}{12}

1 = \frac{x}{12}

x = 12  

Jadi tinggi tiang bendera adalah

= x + tinggi anak

= 12 m + 160 cm

= 12 m + 1,6 m

= 13,6 m

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

Jika sin a = 1/2 , a di kuadran II , maka nilai dari tan a

Jawab :

\sin A=\frac{1}{2}\\\frac{a}{c}=\frac{1}{2}\\\\a=1\\c=2\\b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\\\\\tan A=-\frac{a}{b}\\\tan A=-\frac{1}{\sqrt3}\\\tan A=-\frac{1}{3}\sqrt3(\text{Negatif karena berada di kuadran II})

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 3600

Jika sin 30° =½ maka cos 300°=

Jawab : 

cos 300°

= cos (360° - 60°)

= cos 60°

= cos (90° - 30°)

= sin 30°

= 1/2

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

Buktikan bahwa persamaan identitas trigonometri di bawah adalah benar!

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha \]

Bukti:

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{1 - sin^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} \]

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{\left( 1 - sin \alpha \right) \left( 1 + sin \alpha) \right)}{1 + sin \alpha} \]

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \left( 1 - sin \alpha \right)  \]

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - 1 + sin \alpha  \]

  \[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha  \]

3.8 Menyelesaikan koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinata kutub

Jika titik P(4,45°) dinyatakan dengan sistem koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah

Jawab:

x = r . cos a

x = 4 . cos 45°

x = 4 . 1/2 √2

x = 2 √2

y = r . sin a

y = 4 . sin 45°

y = 4 . 1/2 √2

y = 2 √2

(2√2, 2√2)

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut 

60

∘

60∘ (lihat gambar). Jika jarak antara kelinci dan elang adalah 

18

18 meter, maka tinggi elang dari atas tanah adalah 

⋯

⋅

⋯⋅ meter.

Jika dilihat dari gambar, sisi depan sudut 

60

∘

60∘ ditanyakan panjangnya dan sisi miring segitiga (hipotenusa) diketahui panjangnya. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni

sin

60

∘

=

x

18

1

2

√

3

=

x

18

x

=

18

×

1

2

√

3

=

9

√

3

sin⁡60∘=x18123=x18x=18×123=93

Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah 

9

√

3

93 meter.

(Jawaban D)

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

Pada segitiga ABC diketahui AC=10 cm, besar sudut B=45 derajat, dan besar sudut A=30 derajat. tentukan panjang BC.

Jawab : 

Diketahui :

Panjang AC = b = 10 cm

Sudut B = 45°

Sudut A = 30°

Ditanyakan :

Panjang BC = a = ...... 

Jawab :

Dengan aturan sinus

a/(sin A) = b/(sin B)

a/(sin 30°) = 10/(sin 45°)

a/(1/2) = 10/(1/2 √2)

a/1 = 10/(√2)

a = 10/(√2) . (√2)/(√2)

a = (10 √2)/2

a = 5 √2

Jadi panjang BC = 5 √2 cm

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi

pada segitiga ABC diketahui AB=4cm, AC=4√2, dan sudut C=30° dengan demikian sudut A sama dengan

Jawab : 

 \frac{AB}{sin C}  =  \frac{AC}{sin B} 

4 sin B= 4  \sqrt{2}  sin30

4 sin B = 4  \sqrt{2}  x  \frac{1}{2} 

sin B =  \frac{2 \sqrt{2}}{4} 

sin B =  \frac{1}{2}   \sqrt{2} 

arc sin B = 120

A+B+C=180

A+120+30=180

A+150=180

A=180-150

A=30

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

pada segitiga PQR,sudut QPR=120°,PQ=12 dan PR=10. Dengan demikian panjang QR sama dengan

Jawab : 

Aturan Cosinus

QR² = PQ² + PR² - 2.PQ.PR.cos∠QPR

QR² = 12² + 10² - 2.12.10.cos 120°

QR² = 12² + 10² - 2.12.10.(-0,5)

QR² = 144 + 100 - (-120)

QR² = 144 + 100 + 120

QR² = 364

QR = √364

QR = 2√91

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sudut

Diketahui perbandingan sisi-sisi segitiga ABC adalah 2:3:4. Nilai kosinus sudut terbesar adalah

Jawab : 

Sisi ABC , AB = 2x , BC = 3x , AC = 4x

Sudut terbesar didepan sisi terpanjang ,

sisi terpanjang  = AC

sudut terbesar = < B

cos B = (AB² + BC² - AC²) / (2)(AB)(BC)

cos B = (2x)²+(3x)² -(4x)² /  2(2x)(3x)

cos B = (4+9 -16) x²/ (12) x²

cos B = (-3)/(12)

cos B = - 1/4

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

1. Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc

jawab : 

L = ½.ab.ac.Sin a

L = ½.6.8.Sin 150°

L = 12 cm²

2. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :

Dik : B = 30o, C = 37o, a = 8 cm

Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :

⇒ A + B + C = 180o

⇒ A = 180o - (B + C)

⇒ A = 180o - (30o + 37o)

⇒ A = 180o - 67o

⇒ A = 113o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L = a2 sin B sin C

2 sin A

⇒ L = 82 sin 30o sin 37o

2 sin 113o

⇒ L = 64 (0,5) (0,6)

2 (0,92)

⇒ L = 19,2

1,84

⇒ L = 10,42 cm

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,42 cm.

3. Pada segitiga ABC diketahui AB = 4 cm, AC = 6 cm dan BC = 8 cm. maka luas segitiga ABC adalah

Jawab: 

K = 4+6+8 = 18 cm

s = K/2 = 18/2 = 9 cm

Luas segitiga

= √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC))

= √(9(9-4)(9-6)(9-8))

= √(9.5.3.1)

= √135 = 3√15 cm²

3.10 Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Contoh Soal 1

Jika g(x)=3x2−12x2+2cosx, maka g′(x) sama dengan ⋯⋅

A. 6x+1x3−2sinx
B. 6x−1x3−2sinx
C. 6x−14x−2sinx
D. 6x+4x3+2sinx
E. 6x+1x3+2sinx

Pembahasan :

Ingat kembali bahwa:

f(x)=cosx⟹f′(x)=−sinx
Dengan menggunakan fakta di atas dan aturan turunan fungsi aljabar, kita peroleh
g(x)=3x2−12x2+2cosx=3x2−12x−2+2cosxg′(x)=3(2)x−12(−2)x−3+2(−sinx)=6x+1x3−2sinx
Jadi, hasil dari g′(x)=6x+1x3−2sinx
(Jawaban A)

Contoh soal 2.

Perhatikan gambar grafik dibawah ini!

 

grafik diatas adalah grafik fungsi... 

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena tidak dimulai dari garis normal di sumbu-X dengan bentuk umum f(x)=α cos kx

Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya 1/2 sedangkan nilai minimumnya −1/2, sehingga

a=N. Maksimum−N. Minimum /2 =1/2−(−1/2) per 2=1/2

Saat x=0°, nilai fungsinya 1/2, lalu berulang kembali di x=π, sehingga periodenya π. Dengan demikian, k=2π/Periode=2π/π=2

Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi f(x)=1/2 cos 2x

Contoh Soal 3

Turunan dari y=3sinx−cosx adalah ⋯⋅

A. 3cosx−sinx
B. 3cosx+sinx
C. cosx−sinx
D. cosx+sinx
E. 5cosx−sinx

Pembahasan :

Ingat kembali bahwa:

f(x)=sinx⟹f′(x)=cosxf(x)=cosx⟹f′(x)=−sinx
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
y=3sinx−cosx⟹y′=3cosx−(−sinx)=3cosx+sinx
Jadi, turunan dari y=3sinx−cosx adalah 3cosx+sinx
(Jawaban B)

3.10 Menyelesaikan membaca gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

$$

Diketahui:

y = 3 cos 2x

Ditanya: grafik y = 3 cos 2x pada interval 45° ≤ x ≤ 90°

Jawab:

Untuk menggambar grafik, diperlukan titik-titik yang melalui koordinat (x, y). Titik-titik tersebut diperoleh dengan cara mendaftar anggota pada grafik y = 3 cos 2x .

Karena hanya diperlukan pada interval 45° ≤ x ≤ 90° , maka kita hanya akan mendaftar sudut-sudut istimewa pada interval tersebut. Sudut istimewa diantara 45° - 90° adalah: 45°, 60°, dan 90°. Maka diperoleh:

x = 45°, 60°, dan 90°

subtitusikan nilai x satu persatu kedalam persamaan y

untuk x = 45°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(45°)

y = 3 cos 90°

y = 3(0)

y = 0

Maka diperoleh titik (45°, 0)

untuk x = 60°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(60°)

y = 3 cos 120°

Ingat! cos 120° terletak di kuadran II

y = 3 (-cos (180° - 60°))

y = 3

y = 

Maka diperoleh titik (60°, )

untuk x = 90°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(90°)

y = 3 cos 180°

y = 3(-1)

y = -3

Maka diperoleh titik (90°, -3)

Dari titiik-titik tersebut kemudian digambar pada bidang kartesisus. Gambar grafik dapat dilihat pada lampiran. Dari grafik tersebut terlihat bahwa grafik y = 3 cos 2x terletak di bawah sumbu- x, atau pada sumbu- y negatif, dan graik tersebut juga terbuka ke atas.

∴ Jadi graik y = 3 cos 2x pada interval 45° ≤ x ≤ 90° akan terbuka keatas dan di bawah sumbu-x atau pada sumby-y negatif.

3.10 MenyelesaikanRange nilai fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Pada interval 0° < x < 90° grafik fungsi seluruhnya berada di atas sumbu x. fungsi tersebut adalah

Jawab:

y = sin 2* 0 = sin  0 = 0

y = sin 2 * 45 = sin 90 = 1

y = sin 2 * 90 = sin 180 = 0

jadi  fungsi y = sin 2x

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

1. Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah...

Jawab :

Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah 2. Nilai dari sin ax dan cos ax adalah –1 ≤ sin ax ≤ 1 dan –1 ≤ cos ax ≤ 1, sehingga:

Nilai maksimum dari sin ax dan cos ax adalah 1

Nilai minimum dari sin ax dan cos ax adalah –1  

dengan a adalah bilangan real

Rumus sudut rangkap pada trigonometri

sin 2A = 2 sin A cos A

cos 2A = cos² A – sin² A

cos 2A = 2 cos² A – 1

cos 2A = 1 – 2 sin² A

tan 2A = 2 tan A/ 1- tan^2 A

y = 4 sin x cos x

y = 2 . 2 sin x cos x

y = 2 . sin 2x

y = 2 sin 2x

karena nilai dari sin 2x adalah –1 ≤ sin 2x ≤ 1, maka y = 2 sin 2x akan bernilai maksimum jika sin 2x = 1

sehingga nilai maksimum dari y = 4 sin x cos x adalah

y = 2 sin 2x

y = 2 (1)

y = 2

2. Nilai minimum dari fungsi y = √3 cos x - sin x adalah...

Jawab : 

Nilai Maksimum minimum fungsi trigonometri

y = √3 cos x - sin x  ubah  bentu ke y = k  cos ( x -  a)

a= √3

b = - 1

k = √(a²+b²)

k = √(3 +1)= +_2

Nilai minimum nya = -2

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

Contoh Soal 1

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 20°

tan 40°

cos 53°

Jawab :

sin 20° = sin (90° − 70°)

= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50

cos 53° = cos (90° − 37°)

= sin 37°

Jika diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

Contoh Soal 2

Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 143°

sin 233°

cos 323°

Jawab :

Sudut 143° adapada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.

tan 143° = tan (180° − 37°)

= -tan 37°

Sudut 233° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 233° = sin (270° − 37°)

= -cos 37°

Perhatikan sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)

Sudut 323° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 323° = cos (360° − 37°)

= cos 37°

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

contoh 1

pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b dan sisi c berturut-turut adalah 8 cm dan 10 cm jika sudut A adalah 37 derajat, maka tentukanlah luas segitiga tersebut..

pembahasan

Dik: b = 8 cm, c = 10 cm, A = 37 derajat

Dit: L = ...?

L = ½ bc sin A

L= ½ (8) (10) sin 37 derajat

L= 40(3/5)

L= 24 cm

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

Contoh 1

Bagilah sudut lancip α menjadi 2 bagian, sehingga hasil perkalian kosinus-kosinusnya mencapai nilai maksimum.

Tentukan nilai maksimum itu.

Pembahasan

Misalkan 2 bagian sudut adalah x dan α-x, maka f(x)=cos⁡x cos⁡(α-x). Berdasarkan rumus trigonometri 2\cos a \cos \beta = \cos (a+\beta) + \cos (a -\beta), maka :

f(x) = \frac{1}{2}\langle \cos(x+(a - x)) + \cos(a -(a - x))\rangle

f(x) = \frac{1}{2}\langle \cos a + \cos (2x - a)\rangle

f(x) akan maksimum jika \cos (2x - a) = 1, sehingga

f_{maks} = \frac{1}{2}\langle \cos (a) + \cos(2x - a)\rangle = \frac{1}{2}\langle \cos (a) + 1\rangle.