Soal Trigonometri PAT Kelas X IPS

assalamualaikum wr. wb.

Haii... semuanya ketemu lagi dengan saya Naila Mutiara Ziefa, nah pada kesempatan kali ini saya akan memberikan soal sekaligus pembahasannya tentang Trigonometri. 

semoga apa yang saya sampaikan  bermanfaat bagi kalian dan bisa membuat kalian menjadi tau dan paham materi Trigonometri ini. 

sebelumnya saya minta maaf jika nanti bagi kalian pembahasannya ada yang salah.

Langsung saja ke soal soal trigonometri dibawah ini,

1. Tentukan Nilai Sin 225°!

jawaban :

Dalam trigonometri, besar sudut α dibagi menjadi 4 kelompok, yaitu :

Kuadran I : 0° < α < 90° (0 < α < π/2)

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

tan (90° - α) = cotan α

cotan (90° - α) = tan α

secan (90° - α) = sec α

sec (90° - α) = cosec α

Kuadran II : 90° < α < 180° (π/2 < α < π)

sin (180° - α) = sin α

cos (180° - α) = -cos α

tan (180° - α) = -tan α

cotan (180° - α) = -cotan α

secan (180° - α) = secan α

sec (180° - α) = -sec α

Kuadran III : 180° < α < 270° (π < α < 3π/2)

sin (270° - α) = -cos α

cos (270° - α) = -sin α

tan (270° - α) = cotan α

cotan (270° - α) = tan α

secan (270° - α) = -sec α

sec (270° - α) = -cosec α

Kuadran IV : 270° < α < 360° (3π/2 < α < 2π)

sin (360° - α) = sin (-α) = -sin α

cos (360° - α) = cos (-α) = cos α

tan (360° - α) = tan (-α) = -tan α

cotan (360° - α) = cotan (-α) = -cotan α

secan (360° - α) = secan (-α) = -secan α

sec (360° - α) = sec (-α) = sec α

Mari kita lihat soal berikut.

sin 225° berada pada kuadran III, sehingga nilai sinus negatif.

sin 225° = sin (270 - 45)° = -cos 45° = -1/2 √2 

jadi, nilai dari Sin 225° ialah -1/2 √2 

2. Jika sin(x-600)° = cos(x-450)° maka nilai dari tanx adalah...

Penyelesaian:

• Penyetaraan antara sisi kiri dan sisi kanan. Menggunakan aturan Kuadran I (seperti pada soal nomor 1).

sin(x + α) = cos (x + α)

sin(x + α) = sin (90 - (x + α))

• Setelah sisi kiri dan kanan sama, nah bisa ditentukan nilai x nya.
• Setelah nilai x di dapat, baru deh dihitung nilai tanx nya

Jadi,

sin(x-600)° = cos(x-450)°

sin(x-600)° = sin(90 - (x-450))°

sin(x-600)° = sin(540 - x)°

x - 600° = 540° - x

2x = 540° + 600°

x = 1140°/2 = 570°

tan x = tan 570°

= tan (360 + 210)° = tan 210°

= tan (180 + 30)° -----> Kuadran III

= tan 30° = 1/3 √3

(bernilai + karena tangen pada kuadran III bernilai positif).

3. Segitiga KLM memiliki koordinat K(−5,−2),L(3,−2), dan M(−5,4). Nilai cos L dan tan M berturut-turut adalah?

Pembahasan :

Pertama sketsakan segitiga KLM pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Tampak bahwa segitiga KLM merupakan segitiga siku-siku (di L).

Dari gambar di atas, diketahui bahwa

KL=3−(−5)=8;KM=4−(−2)=6

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh

LM=√KL2+KM2=√82+62=√64+36=√100=10

Untuk itu,

cosL=KLLM=810=45tanM=KLKM=86=43

Jadi, nilai cos L dan tan M berturut-turut adalah 45 dan 43.

4. dalam sebuah lingkaran yang berjari-jari 8cm dibuat segi-12 beraturan, panjang sisi segi 12 beraturan tersebut adalah...cm​

jawaban : 

sisi² = r² + r² - 2 × r × r x cos

       = 8² + 8² - 2 × 8 × 8 × cos(30°)

       = 64 + 64 - 2 × 64 × 

       = 128 - 

sisi = 

     = 

     = 

Jadi, panjang sisi segi 12 beraturan tersebut adalah sisi  

5. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2 jam dengan arah 030°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2,5 jam dengan arah 150°. Buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!

Pembahasan:

Jarak = kecepatan x waktu
Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km
Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km

Perhatikan gambar terlampir.
Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°
Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC

AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]
AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]
AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]
AC² = 28.900 - 12.000
AC = √ 16.900
Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km

6. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 153°

sin 243°

cos 333°

Pembahasan :

Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.

tan 153° = tan (180° − 27°)

= -tan 27°

Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 243° = sin (270° − 27°)

= -cos 27°

Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 333° = cos (360° − 27°)

=cos 27°

7. Tanpa memakai kalkulator, tentukan nilai dari sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘.

Pembahasan :

sin 100° = sin (90° + 10°)

= cos 10°

cos 190° = cos (180° + 10°)

= -cos 10°

cos 350° = cos (360° − 10°)

= cos 10°

sin 260° = sin (270° − 10°)

= -cos 10°

Jadi :

sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘=cos10∘−(−cos10∘)cos10∘−(−cos10∘)=2cos10∘2cos10∘=1

8.Jika cos2A=−725 untuk 180∘≤2A≤270∘, maka ⋯⋅

Diketahui cos2A=−7/25.
Karena 180∘≤2A≤270∘, maka dengan membagi 2 pada ketiga ruasnya, diperoleh
90∘≤A≤135∘.
Jadi, A berada di kuadran II.
Perhatikan bahwa cos2A=2cos2A−1.
cos2A=−7/25

2cos2A−1=−7/25

cos2A=9/25

cosA=−35
cosA bernilai negatif karena A berada di kuadranII

segitiga siku-sikutanA

cscA=mi/de=5/4

9.  Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm, BC=8 cm AC=7 cm. Nilai cos A adalah…

Jawaban:

Cos A=(AB²+AC²-BC²)/2(AB . AC)

Cos A=6²+7²-8²/2(6 . 7)

Cos A = 36+49-64/2(42)

Cos A=21/84

10. Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f ' maka f '(x) =....

Pembahasan

f(x) = sin³ (3 – 2x) 

Turunkan sin³ nya, 

Turunkan sin (3 – 2x) nya, 

Turunkan (3 – 2x) nya, 

Hasilnya dikalikan semua seperti ini:

f(x) = sin³ (3 – 2x) 

f ' (x) = 3 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2

f ' (x) = −6 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ

f ' (x) = −6 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x)f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x) 

                  |_____________________|

                                 ↓

                         sin 2 (3 − 2x)

f ' (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)

f ' (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x) 

atau:

f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x) 

11. Diketahui perbandingan sisi-sisi segitiga ABC adalah 2:3:4. Nilai kosinus sudut terbesar adalah....

Jawaban :

Sisi ABC , AB = 2x , BC = 3x , AC = 4x

Sudut terbesar didepan sisi terpanjang ,

sisi terpanjang  = AC

sudut terbesar = < B

cos B = (AB² + BC² - AC²) / (2)(AB)(BC)

cos B = (2x)²+(3x)² -(4x)² /  2(2x)(3x)

cos B = (4+9 -16) x²/ (12) x²

cos B = (-3)/(12)

cos B = - 1/4

12. Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini: sin x0 = sin 500

Jawaban:

sin x0 = sin500, maka diperoleh:

x = 500 + k.3600     atau     x   = (1800  ?  500) + k.3600

= 1300 + k.3600

Jadi, x = 500 + k.3600 atau 1300 + k.3600

13. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a yaitu 10 cm dan panjang sisi c yaitu 12 cm. Jika besar sudut yang diapit oleh a dan c yaitu 46o, maka tentukan panjang sisi b.

Pembahasan :

Dik : a = 10 cm, ∠B = 46o, c = 12 cm

Dit : b = ... ?

Berdasarkan aturan cosinus :

⇒ b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

⇒ b2 = 102 + 122 − 2(10)(12) cos 46o

⇒ b2 = 100 + 144 − 240 (0.6946)

⇒ b2 = 244 − 166,7

⇒ b2 = 77,3

⇒ b = 8,8 cm

Jadi, panjang sisi b yaitu 8,8 cm

14. Diketahui fungsi f(x) = sin² (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = … 

Pembahasan
Turunan berantai
f(x) = sin² (2x + 3)

Turunkan sin² nya,
Turunkan sin (2x + 3) nya,
Turunkan (2x + 3) nya.

f '(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2
f '(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)

15. 15. Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 20 cm, QR = 16 cm, dan sudut Q = 135 derajat. luas segitiga PQR adalah...

Jawaban :

Luas = 1/2. PQ. QR. sinQ

= 1/2. 20 cm. 16 cm. sin135°

= 160 cm². (1/2 √2)

= 80√2 cm²

16. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi

f(x) = 8\sin (x+\frac{3\pi}{2}) \cos x

Pembahasan :

Gunakan :2\sin a \cos \beta = \sin(a + \beta) + \sin (a - \beta)

f(x) = 8\sin(x+\frac{3\pi}{2}) \cos xf(x) = 4 \times 2\sin(x+\frac{3\pi}{2}) \cos x

f(x) = 4(\sin(x+\frac{3\pi}{2} - x))

f(x) = 4(\sin(2x+\frac{3\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})) = 4(\sin(2x+\frac{3\pi}{2}) - 1)

f(x) = 4\sin (2x+\frac{3\pi}{2}) - 4

Sehingga :

Untuk sin⁡(2x +\frac{3\pi}{2}) = 1, maka f_{maks} = 4(1) - 4 = 0

Untuk sin⁡(2x+\frac{3\pi}{2}) = -1, maka f_{min} = 4(-1) - 4 = -8

17. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri pada titik berikut: B(5, 12)

B (5, 12)

r² = x² + y²

r² = 5² + 12²

r² = 25 + 144

r² = 169

r = √169

r = 13

Nilai perbandingan trigonometrinya adalah:

Sin α = 12/13

Cos α = 5/13

Tan α = 12/5

Cosec α = 13/12

Sec α = 13/5

Cot α = 5/12

18. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang AB = 9cm dan BC = 12cm. Jika besar ∠ ABC = 30o, tentukan luas segitiga ABC!

Jawaban :

• Misal a = AB, maka t adalah garis tegak lurus AB ke titik C berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/BC

t = BC × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC

L = ½ × 9cm × 12cm × Sin 30o

L = ½ × 9cm × 12cm × ½

L = 27cm2

• Misal a = BC, maka t adalah garis tegak lurus BC ke titik A berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/AB

t = AB × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × BC × AB × Sin ∠ABC

L = ½ × 12cm × 9cm × Sin 30o

L = ½ × 12cm × 9cm × ½

L = 27cm2

Jadi,  luas segitiga ABC adalah 27cm2.

19. Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°

jawab:
sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°
= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°
= sin 60° cos 45°

20. Jika tan a= p dan 90 <a<180 maka sin a=

90° < α < 180°    ⇒ α di kuadran II dan sin α bernilai positif

tan² α + 1 = 1/cos² α

   p²    + 1 = 1/cos² α

     cos² α = 1/(p² + 1)

     sin² α + cos² α = 1

sin² α + 1/(p² + 1) = 1

                   sin² α  = 1 - 1/(p² + 1)

                   sin² α  = (p² + 1 - 1) / (p² + 1)

                   sin² α  = p² / (p² + 1)

                    sin α  = √{p² / (p² + 1)

                              = p / √(p² + 1)

Hanya itu saja yang dapat saya sampaikan untuk soal dan pembahasan tentang materi Trigonometri.jika ada kekurangan dalam penjelasannya mohon dimaafkan yaa...