LOGIKA MATEMATIKA

Hello everyone! ketemu lagi dengan saya Naila Mutiara Ziefa XI IPS 2, jadi diblog saya kali ini, saya akan menjelaskan tentang pengertian Logika Matematika beserta contoh soal dan pembahasannya, materi ini adalah materi kelas XI

Dan semoga kalian dapat memahami dan dapat mengerti tentang Logika Matematika,jika ada kesalahan atau kekurangan dalam menjabarkannya mohon dimaafkan karena saya juga masih seorang siswa diSMA.

Baiklah langsung saja kita masuk ke pengertian Logika Matematika

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

Hukum logika

1. Hukum komutatif, yaitu:

p∧q ≡ q∧p
p∨q ≡ q∨p

2. Hukum asosiatif, yaitu:

(p ∧ q) ∧ r sama dengan p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r sama dengan p ∨ (q ∨ r)

3. Hukum distributif, yaitu:

Apabila p∧(q∨r) maka sama dengan (p∧q)∨(p∧r)
Apabila p∨(q∧r) maka sama dengan (p∨q)∧(p∨r)

4. Hukum identitas, yaitu:

p ∧ B ≡ p
p ∨ S ≡ p

5. Hukum ikatan, yaitu:

p ∧ S ≡ S
p ∨ B ≡ B

6. Hukum negasi, yaitu:

p ∧ ~p ≡ S
p ∨ ~p ≡ B

7. Hukum negasi ganda, yaitu:

~(~p) ≡ p

8. Hukum idempotent, yaitu:

p ∧ p ≡ p
p ∨ p ≡ p

9. Hukum De Morgan, yaitu:

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

10. Hukum penyerapan, yaitu:

p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p

11. Negasi B dan S, yaitu:

~B ≡ S
~S ≡ B

12. p → q ≡ ~p ∨ q

13. p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

Didalam logika matematika, terdapat cara untuk mementukan nilai dari suatu pernyataan, baik bernilai benar ataupun bernilai salah.

Pernyataan Tertutup (Kalimat Tertutup)

Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup yaitu suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.

Contohnya:
“5 ialah bilangan genap”, kalimat tersebut bernilai salah karena yang benar seharusnya ialah “5 adalah bilangan ganjil”.

Pernyataan Terbuka (Kalimat Terbuka)Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka ialah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karna adanya suatu perubah atau variabel. Contoh logika matematika:

Saat, x=1 maka p(1):3(1)+1>6 bernilai salah
Saat, x=2 maka p(2):3(2)+1>6 bernilai benar

Ingkaran atau Negasi dari suatu Pernyataan

Ingkaran atau negasi adalah kebalikan nilai dari suatu pernyataan, dimana ketika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan saat suatu pernyataan bernilai salah, negasinya bernilai benar. Ingkaran atau negasi dari pernyataan p dilambangkan dengan ~ p

Pernyataan Kuantor

Pernyataan kuantor adalah bentuk logika matematika berupa pernyataan yang memiliki kuantitas. Dalam pernyataan kuantor, pada umumnya terdapat kata semua, seluruh, setiap, beberapa, ada, dan sebagian.

Kata-kata yang senilai dengan seluruh, semua, setiap termasuk dalam kuantor universal dan kata-kata yang senilai dengan sebagian, beberapa, ada termasuk dalam kuantor eksistensial. Kuantor universal dan kuantor eksistensial saling beringkaran.

p: semua orang adalah sarjana (Kuantor universal)

~p: sebagian orang adalah tidak sarjana

Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan Ingkarannya

Dalam logika matematika, beberapa pernyataan dapat dibentuk menjadi satu pernyataan dengan menggunakan kata penghubung logika seperti dan, atau, maka dan jika dan hanya jika. Pernyataan gabungan tersebut disebut dengan pernyataan majemuk.

Dalam logika matematika, kata hubung tersebur masing-masing memiliki lambang dan istilah sendiri.

Tabel Kebenaran Konjungsi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari konjungsi adalah bernilai benar jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai benar.

Tabel Kebenaran Disjungsi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari disjungsi adalah bernilai salah jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai salah.

Tabel Kebenaran Implikasi

Pada sifat implikasi ini

$p \Rightarrow q$

p disebut sebagai hipotesa dan q sebagai konklusi. Pada implikasi ini akan bernilai salah ketika konklusi salah dan hipotesa benar.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

Pada sifat biimplikasi, penyataan majemuk akan bernilai benar jika kedua pernyataan penyusunnya bernilai sama, keduanya benar atau keduanya salah.

Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan yang ada dan kontradiksi adalah kebalikannya, yaitu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan yang ada

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:

Ingkaran Pernyataan Majemuk

Ingkaran Konjungsi: $\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$

Ingkaran Disjungsi: $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$

Ingkaran Implikasi: $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$

Ingkaran Biimplikasi: $\sim (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konvers, invers dan kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi, dimana:

Konvers dari $p \Rightarrow q$ adalah $q \Rightarrow p$

Invers dari $p \Rightarrow q$ adalah $\sim p \Rightarrow \sim q$

Kontraposisi dari $p \Rightarrow q$ adalah $\sim q \Rightarrow \sim p$

Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)

Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu:

Contoh Soal Logika Matematika:

Soal 1:
Premis 1 : Jika Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas
Premis 2 : Andi rajin belajar
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah

Jawab:
Premis 1               : $p \Rightarrow q$
Premis 2               : p
Kesimpulan          : q (modus ponens)
Jadi kesimpulannya adalah Andi juara kelas.

Soal 2:
Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah libur
Premis 2 : sekolah tidak libur
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1               : $p \Rightarrow q$
Premis 2               : $\sim q$
Kesimpulan          : (modus tollens)
Jadi kesimpulannya adalah hari tidak hujan

Soal 3:
Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah
Premis 2 : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang saku
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah

Jawab:
Premis 1               : $p \Rightarrow q$
Premis 2               : $q \Rightarrow r$
Kesimpulan          : $p \Rightarrow r$ (silogisme)
Jadi kesimpulannya adalah Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku.

Soal 4: Diberikan dua pernyataan sebagai berikut:

a) p : Hari ini Jakarta hujan lebat.
q : Hari ini aliran listrik putus.

Nyatakan dengan kata-kata:
a) p ∧ q
b) p ∧ ~q
c) ~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q

Pembahasan
a) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik putus
b) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik tidak putus
c) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik putus
d) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik tidak putus

Soal 5: Diberikan data:

Pernyataan p bernilai salah
Pernyataan q bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini:
a) p ∧ q
b) p ∧ ~q
c) ~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q

Pembahasan
Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi :

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.
Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel:

p	q	~p	~q	p ∧ q	p ∧ ~q	~p ∧ q	~p ∧ ~q
S	B	B	S	S	S	B	S

Dari tabel di atas
a) p ∧ q bernilai salah
b) p ∧ ~q bernilai salah
c) ~p ∧ q bernilai benar
d) ~p ∧ ~q bernilai salah

Soal 6: Tentukan negasi dari pernyataan:

a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung

Pembahasan
Ingkaran (negasi) dari konjungsi.
a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
Ingat:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Bogor tidak hujan lebat atau Jakarta banjir.

b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung
Ingat:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Hari ini mendung atau Budi tidak membawa payung.

Naila Mutiara Ziefa