BARISAN DAN DERET GEOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Hello everyone! ketemu lagi dengan saya Naila Mutiara Ziefa XI IPS 2, jadi diblog saya kali ini,saya akan membahas tentang

Barisan dan Deret Geometri beserta contoh soalnya.

Barisan dan deret geometri adalah salah satu materi yang dipelajari dalam Matematika, SMA. Barisan geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan. Perbandingan atau rasio antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu r. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a.

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

$U_{n}=ar^{n-1}$

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.

Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

$S_{n}=a\frac{(1-r^{n})}{(1-r)}$

dengan syarat r < 1

atau

$S_{n}=a\frac{(r^{n}-1)}{(r-1)}$

dengan syarat r > 1

Contoh Soal :

1. Selembar kertas dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dipotong menjadi dua dan seterusnya. Jumlah potongan kertas setelah potongan kelima sama dengan …

Pembahasan:

Diketahui: a = 1

r = 2

Ditanya: $U_{5}=?$

Jawab:

$U_{n}=ar^{n}$
$U_{5}=1.2^{5}$
=32

Jadi, jumlah potongan kertas setelah potongan kelima adalah 32

2. Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah …

Pembahasan :

Diketahui: a = 3
$U_{9}=768$
Ditanya: $U_{7}=?$

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari $U_{7}$ , kita akan mencari nilai r terlebih dahulu.

Ingat kembali bahwa $U_{n}=ar^{n-1}$ sehingga $U_{9}$ dapat ditulis menjadi

$U_{9}=768$
$3.r^{9-1}=768$
$r^{8}=\frac{768}{3}$
$r^{8}=256$
$r=\sqrt[8]{256}$
$r=2$

Sehingga,

$U_{7}=3.2^{6}$
$=3.64$
$=192$

Jadi, suku ke-7 deret tersebut adalah 192.

3. Diketahui suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan suku ke-6 adalah 27. Suku ke-2 dari barisan tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui $U_{5}=243$
$\frac{U_{9}}{U_{6}}=27$

Ditanya $U_{2}=?$
Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari $U_{2}$ , kita akan mencari nilai a dan r terlebih dahulu.

Ingat kembali $U_{n}=ar^{n-1}$ maka

$\frac{a.r^{8}}{a.r^{5}}=27$
$r^{3}=27$
$r=\sqrt[3]{27}$
$r=3$

Substitusikan r = 3 ke persamaan $U_{5}=243$

$U_{5}=243$
$a.3^{4}=243$
$a=\frac{243}{81}$
$a=3$

sehingga

$U_{2}=a.r$
$=3.3$
= 9

Jadi, suku ke-2 dari barisan tersebut adalah 9.

4. Jumlah 6 suku pertama deret geometri 2 + 6 + 18 + … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 2

r = 3

ditanyakan $U_{6}=?$

Jawab:

$S_{n}=a\frac{(r^{n}-1)}{(r-1)}$
$S_{6}=2\frac{(3^{6}-1)}{(3-1)}$
$=2\frac{(729-1)}{2}$
$=728$

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 728.

Contoh Soal Aritmatika :

1. Diketahui pada suatu deret aritmatika : 3, 6, 12, 27, …., hitunglah beda dan suku ke-8 dari contoh deret aritmatika tersebut..

A. Beda 3, U8 =24
B. Beda 3, U8 =31
C. Beda 2, U8 =45
D. Beda 4, U8 =22

Penyelesaiannya :

Diketahui : Deret aritmatikanya: 3, 6, 12, 27, …

Ditanya : b dan U8 ?

Jawaban :
b = 6 – 3 = 3
Un = a + (n-1) b
Un = 3 + (8-1) 3
Un = 3 + (7).3
Un = 3 + 21
Un = 24

Jadi nilai dari bedanya adalah 3 dan nilai untuk Suku ke-8 adalah 21 (A)

2. HitungLah jumlah nilai dari suku ke-5 (S5) dari deret aritmatika berikut ini : 4, 8, 16, 24, ….?

A. 32
B. 60
C. 87
D. 98

Penyelesaiannya :

Diketahui :
a = 4
b = 8 – 4 = 4
n = 5

Ditanya : Jumlah pada suku ke-5 (S5) ?

Jawaban :
Un = a + (n-1) b
Un = 4 + (5-1)4
Un = 4 + 16
Un = 20

Sn = 1/2 n ( a + Un )
S5 = 1/2 .5 (4 +20)
S5 = 5/2 (24)
S5 = 60

Jadi jumlah nilai pada suku ke-5 dari deret aritmatika tersebut adalah : 60. (B)

3. Tentukanlah nilai dari suku ke-38 dari barisan deret aritmatika berikut ini : 4,6 , 8, 10, … ?

A. 76
B. 45
C. 70
D. 74

Penyelesaiannya :

Diketahui : Deret aritmatika: 4, 6, 8, 10, …

Jawaban :
a = 4
b = 6-4 = 2

Un = a + (n-1) b
Un = 4 + (38-1) 2
Un = 4 + (37).2
Un = 4 + 72
Un = 76

Jadi nilai pada suku ke-38 (U38) ialah 76. (A)

4. HitungLah jumlah nilai dari suku ke-8 (S8) dari deret aritmatika berikut ini : 5, 10, 15, 20, ….?

A. 32
B. 180
C. 187
D. 98

Penyelesaiannya :

Diketahui :
a = 5
b = 10 – 5 = 5
n = 8

Ditanya : Jumlah pada suku ke-8 (S8) ?

Jawaban :

Un = a + (n-1) b
Un = 5 + (8-1)5
Un = 5 + 35
Un = 40

Sn = 1/2 n ( a + Un )
S8 = 1/2 .8 (5 +40)
S8 = 8/2 (45)
S8 = 180

Jadi jumlah nilai pada suku ke-8 dari deret aritmatika tersebut adalah : 180. (B)

5. Hitunglah 4 suku berikutnya pada barisan 8, 14, 18, 24, …

A. 25 , 43 , 72, dan 51
B. 25 , 36 , 62, dan 41
C. 29 , 36 , 32, dan 41
D. 29 , 36 , 41, dan 50

Penyelesaiannya:

Diketahui :
a = 8
b = U2 – U1 = 14 – 8 = 6

Jawaban :

a).U5 = a+(5-1)b
U5 = 5 + (4)6
U5 = 5 + 24
U5 = 29

b).U6 = a+(6-1)b
U6 = 6 + (5)6
U6 = 6 + 30
U6 = 36

c).U7 = a+(7-1)b
U7 = 7 + (6)6
U7 = 7 + 36
U7 = 41

d).U8 = a+(8-1)b
U8 = 8 + (7)6
U8 = 8 + 42
U8 = 50

Jadi 4 suku berikutnya dari barisan tersebut adalah 29, 36, 41,dan 50. (D)

6. Tentukanlah nilai dari suku ke-35 dari barisan deret aritmatika seperti berikut ini : 2, 4 , 6, 8 , … ?

A. 54
B. 45
C. 70
D. 74

Penyelesaiannya :

Diketahui : Deret aritmatika: 2, 4, 6, 8, …

Jawaban :
a = 2
b = 4-2 = 2

Un = a + (n-1) b
Un = 2 + (35-1) 2
Un = 2 + (34).2
Un = 2 + 68
Un = 70

Jadi nilai pada suku ke-35 (U35) ialah 70. (C)

Naila Mutiara Ziefa