LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR

Assalamualaikum wr,wb

Hello everyone! Ketemu lagi dengan saya Naila Mutiara Ziefa XI IPS 2.

jadi,diblog saya kali ini,saya akan membahas tentang Materi LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR yuuk langsung saja....

PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

Limit merupakan sebuah konsep matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

Pada dasarnya limit digunakan untuk menyatakan sesuatu yang yang nilainya mendekati nilai tertentu, seperti tak hingga yang pada dasarnya adalah angka yang sangat besar yang nilainya tidak dapat dipastikan. Limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Jika suatu fungsi tidak terdefinisi untuk titik tertentu, tetapi kita masih bisa mencari nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu makin didekati yaitu dengan limit.

Limit f(x) mendekati c sama dengan L, ditulis:

$\lim_{x\rightarrow c}{f(x)}=L$
jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c tetapi x≠c, f(x) mendekati L.

Sifat Limit Fungsi

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka berlaku teorema-teorema berikut.

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}k=k\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}x=c\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}kf(x)=k\lim_{x\rightarrow c}f(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)+ \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)-g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)- \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)\times g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x) \times \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow c}{}f(x)}{\lim_{x\rightarrow c}g(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}g(x) \neq 0 \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}[f(x)]^n=[\lim_{x\rightarrow c}f(x)]^n \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\sqrt[n]{f(x)}= \sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow c}f(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}f(x) \geq 0 \end{align*}$

Mencari Nilai Limit

Metode substitusi

Metode ini dilakukan dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x).

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{2}x+4 &=\frac{1}{2} \times 2+4\\ &=1 + 4\\ &=5 \end{align*}$

Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

$\infty,\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty,\infty-\infty, 0^{0},\infty^0, atau \infty^\infty$

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-9}{x-3}&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}(x+3)\\ &=2+3\\ &=5 \end{align*}$

Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-7}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-7}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}+\sqrt{7}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-7)(\sqrt{x}+\sqrt{7})}{x-7}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}(\sqrt{x}+\sqrt{7})\\ &=\sqrt{7}+\sqrt{7}\\ &=2\sqrt{7} \end{align*}$

Limit Tak Hingga

Untuk menyelesaikan limit tak hingga dari suatu fungsi aljabar, terdapat dua cara yang umum digunakan, yaitu:

Contoh Soal:

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{4x^3-3x^2+2x-1}{5x^3+14x^x-7x+2}=\frac{4}{5} \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^3+2x}{x^2+1}=\infty \end{align*}$

Contoh Soal:

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2x}=\frac{1-2}{2\sqrt{1}}=-\frac{1}{2} \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{2x^2-x+5}-\sqrt{4x^3-1}=-\infty \end{align*}$

Limit Fungsi Aljabar

Dalam pengoperasian limit fungsi aljabar, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

No	TEOREMA
1	$\lim \limits_{x\to c}k=k$
2	$\lim \limits_{x\to c}x = c$
3	$k \cdot \lim \limits_{x\to c}f(x)$
4	$\lim \limits_{x \to c}({f(x) + g(x)})$ $= \lim_{x\to c}f(x) + \lim_{x\to c}g(x)$
5	$\lim \limits_x\to c({f(x) - g(x)}) = \lim_x\to c{f(x) - g(x)}$ $= \lim_x{\to c}f(x) - \lim_{x \to c}g(x)$
6	$\lim \limits_{x\to c}({f(x) \cdot g(x)}) = \lim_{x\to c}f(x) \cdot \lim_{x\to c}g(x)$
7	$\lim \limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$
8	$\lim \limits_{x\to c}(f(x)^n) = (\lim_{x\to c}f(x))^n$
9	$\lim \limits_{x\to c}(\sqrt[n]{f(x)}) = \sqrt[n]{\lim_{x\to c}f(x)}$

Ada tiga metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar, yaitu:

1. Metode substitusi

Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”. Contoh:

$\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{9 - 4}{3 + 2} = 1$

2. Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

∞, $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , 0 x∞, ∞ – ∞, 00, ∞0, atau ∞∞

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu sehingga bentuknya tidak menjadi bentuk tak tentu, baru kemudian bisa disubstitusikan $x\to c$ . Contoh:

$\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 3x}{2x - 6} = \frac{x(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{3}{2}$

3. Metode perkalian dengan akar sekawan

Metode ini digunakan jika pada metode substitusi langsung menghasilkan nilai limit yang irasional. Fungsi dikalikan dengan akar sekawannya agar bentuk limit tersebut tidak irasional, sehingga bisa dilakukan kembali substitusi langsung nilai $x\to c$ . Contoh:

$\lim \limits_{x\to -1}\frac{x +1}{1 - \sqrt{x + 2}} x (\frac{1 + \sqrt{x +2}}{1 + \sqrt{x + 2}}) = \frac{(x + 1)(1 + \sqrt{x+ 2})}{1 - (x + 2)}$

$=\frac{(x + 1)(1+\sqrt{x+2})}{-x - 1} = \frac{(x+1)(1+\sqrt{x+2})}{-(x+1)} = -(1 + \sqrt{x + 2})$

$=-(1 + \sqrt{-(1) + 2}) = -(1 + 1) = -2$

Dalam pengoprasian limit fungsi aljabar, terkadang nilai x mendekati tak berhingga (∞), sehingga jika disubstitusikan fungsi menghasilkan nilai tak tentu. Dalam pengoperasian limitnya, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika n adalah bilangan bulat, k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

No	TEOREMA	SYARAT
1	$\lim \limits_{x\to \infty}k = k$	k adalah konstanta
2	$\lim \limits_{x\to \infty}x^n = \infty$
2	$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^n} = 0$
3	$\lim \limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^n} = \infty$	Jika n = genap
3	$\lim \limits_{x\to - \infty}\frac{1}{x^n}= - \infty$	Jika n = ganjil
4	$\lim \limits_{x\to \infty}k \cdot f(x) = k \cdot \lim \limits_{x\to \infty}f(x)$	k adalah konstanta
5	$\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) + g(x)}) = \lim \limits_{x\to \infty} f(x) + \lim \limits_{x\to \infty}g(x)$ $\lim \limits_{x\to \infty}{f(x) + g(x)} = \lim \limits_{x\to \infty} f(x) + \lim \limits_{x\to \infty}g(x)$
6	$\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) - g(x)})$ $= \lim \limits_{x\to \infty}f(x) - \lim \limits_{x\to \infty}g(x)$
7	$\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) \cdot g(x)}) = \lim \limits_{x\to \infty}f(x) \cdot \lim \limits_{x\to \infty} g(x)$
8	$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)}{\lim \limits_{x\to \infty}g(x)}$
9	$\lim \limits_{x\to c}(f(x)^n) = (\lim \limits_{x\to c} f(x))^n$
10	$\lim \limits_{x\to c}(\sqrt[n]{f(x)}) = \sqrt[n]{\lim \limits_{x\to c}f(x)}$
11	$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{f(x)} = \infty$	$\lim \limits_{x\to \infty}f(x) = 0$
11	$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{f(x)} = 0$	$\lim \limits_{x\to \infty}f(x) = \infty$

Ada dua metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar bentuk tak berhingga:

Membagi dengan pangkat tertinggi

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk $\lim \limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$ . Metode ini dapat dikerjakan dengan membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan variabel xn berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi f(x) dan g(x). Setelahnya, baru dapat disubstitusi dengan $x\to \infty$ . Contoh:

$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{4x-1}{x^2+2} = \frac{\frac{4x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \frac{\frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0$

Mengalikan bentuk sekawan

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk $\lim \limits_{x\to \infty}f(x) - \lim \limits_{x\to \infty}g(x)$ . Metode ini dapat diselesaikan dengan perkalian bentuk sekawan:

$\frac{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x\to \infty}g(x)}{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x \to \infty}g(x)}$

kemudian dilanjutkan pembagian dengan metode pertama yaitu membagi dengan pangkat tertinggi. Contoh:

$\lim \limits_{x\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x - 5 - \sqrt{x^2 -x -2}})$

$=\lim \limits_{n\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x -5 - \sqrt{x^2 - x - 2}})$ $x \frac{(\sqrt{x^2+4x-5 + \sqrt{x^2 - x - 2}})}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})}$

$= \lim \limits_{n\to \infty}\frac{((x^2+4x-5) - (x^2-x-2))}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})}$ $= \lim \limits_{n\to \infty}frac{5x-3}{(\sqrt{x^2+4x-5})+\sqrt{x^2-x-2}}$

Kemudian pembilang dan penyebut dibagi x pangkat tertinggi yaitu x1:

$\lim \limits_{n\to \infty}\frac{\frac{5x}{x}-\frac{3}{x}}{(\sqrt{\frac{x^2+4x-5}{x^2}}+\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2}})}$ $= \lim \limits_{n\to \infty}\frac{5-\frac{3}{x}}{(\sqrt{1+\frac{4}{x}-\frac{5}{x^2}}+ \sqrt{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}})}$

$= \frac{(-0}{(1+1)} = \frac{5}{2}$

Ya sekian penjelasan dari saya,kurang lebihnya mohon dimaafkan,terimakasih...

Daftar Pustaka:

https://www.zenius.net/blog/22841/pembahasan-limit-fungsi-beserta-limit-menuju-tak-hingga

https://www.studiobelajar.com/limit-fungsi/

Naila Mutiara Ziefa