SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Assalamualaikum wr,wb

Hello everyone!!! Ketemu lagi dengan saya Naila Mutiara Ziefa XI IPS 2.

jadi,diblog saya kali ini,saya akan membahas tentang Soal Kontekstual Yang Berhubungan Dengan Turunan.

Soal 1
Suatu perusahaan memproduksi $x$ unit barang dengan biaya $(4 x^{2} - 8 x + 24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah...
A. Rp16.000,00 D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00 E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

Pembahasan:

Misalkan $f (x)$ total biaya produksi $x$ unit barang, $g (x)$ harga jual $x$ barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h (x)$ keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ barang, maka

$\begin{aligned} f (x) & = x (4 x^{2} - 8 x + 24) \\ = 4 x^{3} - 8 x^{2} + 24 x \\ g (x) & = 40 x \\ h (x) & = g (x) - f (x) \\ = 40 x - (4 x^{3} - 8 x^{2} + 24 x) \\ = - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x \end{aligned}$

=4x³ − 8x² + 24x

g(x)=40x

h(x)=g(x)−f(x)

=40x − (4x³ − 8x² + 24x)

=−4x³ + 8x² +16x

Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{'} (x)$ bernilai $0$ .
$\begin{aligned} h (x) & = - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x \\ h^{'} (x) & = - 12 x^{2} + 16 x + 16 \\ 0 & = - 12 x^{2} + 16 x + 16 \\ Bagi & kedua ruas dengan -4 \\ 0 & = 3 x^{2} - 4 x - 4 \\ 0 & = (3 x + 2) (x - 2) \end{aligned}$

$\begin{aligned} h (x) & = - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x \\ h^{'} (x) & = - 12 x^{2} + 16 x + 16 \\ 0 & = - 12 x^{2} + 16 x + 16 \\ Bagi & kedua ruas dengan -4 \\ 0 & = 3 x^{2} - 4 x - 4 \\ 0 & = (3 x + 2) (x - 2) \end{aligned}$

$\begin{matrix} = - 4 (8) + 8 (4) + 32 = 32 \end{matrix}$

Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h (t) = 120 t - 5 t^{2}$ maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah... meter.

A. $270$ C. $670$ E. $770$
B. $320$ D. $720$

Pembahasan

Diketahui: $h (t) = 120 t - 5 t^{2}$ .
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h^{'} (t) = 120 - 10 t$
Nilai $t$ maksimum saat $h^{'} (t) = 0$ , sehingga ditulis
$120 - 10 t = 0 \Leftrightarrow 10 t = 120 \Leftrightarrow t = 12$

$120 - 10 t = 0 \Leftrightarrow 10 t = 120 \Leftrightarrow t = 12$

Soal 3

Sebuah benda dilemparkan keatas dengan persamaan gerak

$S=150t-5t^{2}$ (S dalam meter dan t dalam detik). Tentukan kecepatan dalam detik kelima !

Pembahasan

$S=150{\color{DarkOrange} t}-{\color{DarkOrange} 5}t^{{\color{DarkOrange} 2}}$
$S^{'}=150-{\color{DarkOrange} 10}t$
$0=150-10t$
${\color{DarkOrange} -150}=-10t$
$\frac{-150}{{\color{DarkOrange} -10}}=t$
$t= 15$

langkah selanjutnya kita akan menghitung panjang lintasan atau s, yaitu dengan cara mensubtitusikan nilai t yang barusan kita cari kedalam persaman gerak $S=150t-5t^{2}$

$S=150t-5t^{2}$
$s =150(15)-5(15)^{2}$
$s =2.250-1.125$
$s =1.125$
nah ini perlu diingat bahwa t yang dibawah itu adalah t = 5 (dalam waktu 5 detik)
$v =\frac{s}{{\color{DarkOrange} t}} = \frac{1.125}{{\color{DarkOrange} 5}}= 225$

Soal 4

Turunan pertama dari $f(x)=\frac{2}{3}x^3+3x^2-5x+10$ adalah ...

A. x² + 3x - 5

B. 2x² + x - 5

C. 2x + 3x - 5

D. 2x + 6x - 5

E. 2x + 6x + 5

Pembahasan :

$f'(x)=\frac{2}{3}.3x^{3-1}+3.2x^{2-1}-5.1x^{1-1}$

$f'(x)=2x^2+6x-5$

(Jawaban D)

Soal 5

Untuk memproduksi

x

unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi

(x^{2} + 4 x - 10)

ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah

(20 - x)

ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah...
A. Rp1.200.000,00 D. Rp2.000.000,00
B. Rp1.500.000,00 E. Rp2.200.000,00
C. Rp1.800.000,00

Pembahasan:

Misalkan keuntungan (

U

) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel

x

(ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi), sehingga

U(x)=x(20 − x) − (x² +4x +10)

\begin{aligned} U (x) & = x (20 - x) - (x^{2} + 4 x + 10) \\ = 20 x - x^{2} - x^{2} - 4 x + 10 \\ = - 2 x^{2} + 16 x - 10 \end{aligned}

\begin{aligned} U (x) & = x (20 - x) - (x^{2} + 4 x + 10) \\ = 20 x - x^{2} - x^{2} - 4 x + 10 \\ = - 2 x^{2} + 16 x - 10 \end{aligned}

\begin{aligned} U (x) & = x (20 - x) - (x^{2} + 4 x + 10) \\ = 20 x - x^{2} - x^{2} - 4 x + 10 \\ = - 2 x^{2} + 16 x - 10 \end{aligned}

Keuntungan akan maksimum apabila

U^{'} (x) = 0

\begin{aligned} U^{'} (x) & = 0 \\ - 4 x + 16 & = 0 \\ 4 x & = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}

\begin{aligned} U^{'} (x) & = 0 \\ - 4 x + 16 & = 0 \\ 4 x & = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}

\begin{aligned} U^{'} (x) & = 0 \\ - 4 x + 16 & = 0 \\ 4 x & = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}

\begin{aligned} U^{'} (x) & = 0 \\ - 4 x + 16 & = 0 \\ 4 x & = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}

\begin{aligned} U^{'} (x) & = 0 \\ - 4 x + 16 & = 0 \\ 4 x & = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}

\begin{aligned} U^{'} (x) & = 0 \\ - 4 x + 16 & = 0 \\ 4 x & = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}

\begin{aligned} U^{'} (x) & = 0 \\ - 4 x + 16 & = 0 \\ 4 x & = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}

Soal 6

Dari selembar karton berbentuk persegi yang panjang sisinya $30$ cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi kecil di setiap pojok karton seperti gambar.

Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah... $\dots {cm}^{3}$ .
A. $2.000$ D. $5.000$
B. $3.000$ E. $6.000$
C. $4.000$

Pembahasan:

Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah $x$ (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar balok menjadi $(30 - 2 x)$ cm. Perhatikan juga bahwa interval nilai $x$ yang mungkin adalah $0 < x < 15$